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ブロッホ球
ブロッホ球は、単一量子ビットの純粋状態空間の幾何学的表現であり、すべての可能な量子ビット状態を単位球の表面上の点にマッピングします。
どういう意味か
任意の純粋な単一量子ビット状態は|ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ)sin(θ/2)|1⟩と書くことができ、ここでθ（極角）とφ（方位角）がブロッホ球上の点を定義します。北極は|0⟩に、南極は|1⟩に対応し、赤道には様々な相対位相を持つ等しい重ね合わせが含まれます。単一量子ビットゲートはこの球の回転に対応します。ブロッホ球は重要な幾何学的直感を提供します：X、Y、Zパウリゲートはそれぞれx、y、z軸周りの180度回転であり、アダマールゲートはz軸とx軸の間をマッピングします。デコヒーレンスによる混合状態は球の表面ではなく内部の点にマッピングされます。日常のたとえ
ブロッホ球は北極が|0⟩で南極が|1⟩の地球儀のようなものです — すべての量子状態はこの地球儀上に独自の「緯度と経度」を持ち、量子ゲートは地球儀を回転させるようなものです。
量子状態のためのコンパスと考えてください — コンパスの針が球上のどの方向にも向けるように、量子ビットの状態はブロッホ球上のどの点にも対応できます。
「ブロッホ」とはどういう意味でしょう？実は人名です — スイス生まれのアメリカの物理学者フェリックス・ブロッホ（1952年ノーベル物理学賞、核磁気共鳴）にちなんだもので、人の名前がそのまま用語になった例です。
よくある誤解
- ブロッホ球は単一量子ビットにのみ機能します — 多量子ビット状態に対する単純な幾何学的表現はなく、それらは指数関数的に大きなヒルベルト空間に存在します。
- ブロッホ球の内部の点は無効ではありません — 混合状態（統計的混合）を表し、表面の点は純粋状態を表します。
- ブロッホ球は文字通りの形ではありません — 量子ビットは球体ではなく空間的な方向も持ちません。球はあくまで2つの複素振幅を可視化したものにすぎず、これを物理的な幾何学として捉えることがよくある混乱の元です。
要点
- すべての純粋な単一量子ビット状態は、角度θとφでパラメータ化されたブロッホ球表面の一意の点にマッピングされます。
- 単一量子ビットに対する量子ゲートはブロッホ球の回転に対応します。
- ブロッホ球は単一量子ビットの操作と状態を理解するための幾何学的直感を提供します。
- アダマールゲートはY軸まわりの90°回転に続くX軸まわりの180°回転です — この2つ目の回転こそが、あらゆる初期状態に対してHを自己逆元（H·H = I）にしています。
理解度チェック
ブロッホ球で北極に位置する状態はどれですか？
- A.|1⟩
- B.|+⟩
- C.|0⟩
- D.|−⟩
答えを見る
答え: C. |0⟩
理由: ブロッホ球の北極は状態|0⟩（θ=0）に対応し、南極は|1⟩（θ=π）に対応します。
前提となる概念
一次資料: F. Bloch, Nuclear Induction, Phys. Rev. 70, 460 (1946), doi:10.1103/PhysRev.70.460
Bloch-sphere representation standard per N&C (2010).