出典検証済みレベル 3
密度行列
密度行列（密度演算子）ρは、純粋状態と状態の統計的混合の両方を記述できる量子状態の数学的表現です。
どういう意味か
状態ベクトル|ψ⟩は純粋な量子状態のみを表現できますが、密度行列ρは純粋状態（ρ = |ψ⟩⟨ψ|、Tr(ρ²) = 1）と混合状態（Tr(ρ²) < 1の統計的アンサンブル）の両方を包含するより一般的な記述を提供します。密度行列はトレース1の正半定値エルミート行列です。単一量子ビットでは2x2行列で、対角要素は測定確率を与え、非対角要素は量子コヒーレンスを定量化します。混合状態はデコヒーレンスやシステムに関する不完全な知識から自然に生じます。密度行列形式は開放量子系、量子チャネル、量子誤り訂正に不可欠です。日常のたとえ
密度行列は量子状態の完全な成績表のようなものです — 状態ベクトルが正確にどの生徒かを知っていることだとすれば、密度行列は既知の確率で複数の生徒のいずれかである場合を扱います。
純粋状態を正確なGPS座標、混合状態（密度行列）を地図上の確率分布と考えてください — どちらも何かの位置を記述しますが、後者は不確実性を扱います。
よくある誤解
- 混合状態は重ね合わせと同じではありません — 重ね合わせ|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩は確定的な位相関係を持つ純粋状態ですが、混合状態はその成分間に位相コヒーレンスがありません。
- 密度行列は多量子ビットシステムだけのものではありません — ノイズや部分測定を受ける単一量子ビットにも密度行列形式が必要です。
要点
- 密度行列ρは純粋状態（Tr(ρ²) = 1）と混合状態（Tr(ρ²) < 1）の記述を統一します。
- 密度行列の非対角要素は量子コヒーレンスを表し、その減衰はデコヒーレンスを特徴付けます。
- 密度行列は開放量子系、量子ノイズチャネル、部分測定の記述に不可欠です。
理解度チェック
密度行列ρ = (1/2)|0⟩⟨0| + (1/2)|1⟩⟨1|に対して、Tr(ρ²)はいくつですか？
- A.1
- B.1/2
- C.1/4
- D.0
答えを見る
答え: B. 1/2
理由: ρはρ = (1/2)Iの最大混合状態です。Tr(ρ²) = Tr((1/4)I) = 1/2で、1より小さいため混合状態であることが確認されます。
前提となる概念
一次資料: J. von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer (1932)
Density operator formalism per von Neumann 1932; modern treatment N&C (2010).